Dann bleibe ich erstmal bei dem hier:
Seien a_1, a_2, … die Folgeglieder und f eine geeignete Funktion, dann wäre ein denkbarer Ansatz:
a_n+2 := f(a_n) + f(a_n+1)
Aber verwerfe das:
Vermutung: f(n) = n - <Anzahl der echten Teiler von n>
Die neu hinzugekommenen Folgeglieder ergeben:
28 = f(17) + f(28), also f(28) = 28 - 17 = 11
22 = f(28) + f(28), also f(28) = 11 – passt!
24 = f(28) + f(22), also f(22) = 24 - 11 = 13
Beobachtung:
f(p) = p = p * 1 für p Primzahl
f(8) = 6 = 2 * 3 = 2 + 2 + 2
f(28) = 11 = 2 * 2 + 7 * 1 = 2 + 2 + 7
f(22) = 13 = 2 * 1 + 11 * 1 = 2 + 11
Wie komme ich auf die hinteren Darstellungen?
Die ergibt sich aus der normalen Primfaktorzerlegung, indem Multiplikation durch Addition und Potenzierung mit Multiplikation ersetzt werden.
Alternativ kann in der "langen" Primfaktorzerlegung (ohne Potenzierung) einfach die Multiplikation durch Addition ersetzt werden.
Diese Funktion f hat die schöne Eigenschaft
f(a * b) = f(a) + f(b) für a, b > 1.
Damit könnte für n >= 3 also genausogut
a_n+2 := f(a_n * a_n+1)
verwendet werden.
f(24) = 2 * 3 + 3 * 1 = 11
Das nächste Folgeglied wäre dann f(22 * 24) = f(22) + f(24) = 13 + 11 = 24.
Und dann käme f(24) + f(24) = 22.
Die Teilfolge 22, 24, 24 würde sich dann immer wiederholen.
Einziges Problem:
f(1) wäre nach der obigen Definition die Leere Summe (oder eine Summe aus lauter Nullen), also 0 und nicht 1. 
Schade … da müsste für 1 also ein extra Fall in die Definition von f eingebaut werden.
