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Rätselecke

Suviel

Blüte
Ich hoffe, dass das hier schwer genug ist:

Auf einem Tisch stehen mehrere Uhren nebeneinander in einer Reihe. Zwei der Uhren sind Kuckucksuhren. Eine Kuckucksuhr ist die neunte Uhr von rechts. Die andere Kuckucksuhr ist die sechste Uhr von links. Zwischen den beiden Kuckucksuhren stehen genau drei andere Uhren. Wie viele Uhren stehen mindestens auf dem Tisch?
 

fuzzy.boomer

Schüler der Zwerge
Ich hoffe, dass das hier schwer genug ist:
Wenn ich jetzt nichts komplett übersehen habe, ist es eine relativ einfache Rechenaufgabe mit einem Kniff …
Aber ihr könnt ja auch weiter raten und meine Lösung erstmal ignorieren. ;)

Neunte Uhr von rechts: Also 9 Uhren.
Sechste Uhr von links: Also 6 Uhren.
Wie kann das möglichst uhrensparend gelöst werden?

Wiederverwenden der mittleren Uhren und der jeweils anderen Kuckucksuhr.

1. Weg (Ausführliche Aufschlüsselung)

Die 9 Uhren sind also: Die 3 Uhren dazwischen, die beiden Kuckucksuhren und noch 9 - 3 - 2 = 4 weitere bis zum rechten Rand.
Die 6 Uhren sind also: Die 3 Uhren dazwischen, die beiden Kuckucksuhren und noch 6 - 3 - 2 = 1 weitere bis zum linken Rand.

Jetzt zählen wir ohne die Dopplungen:
1 am linken Rand + 1 Kuckucksuhr + 3 dazwischen + 1 Kuckucksuhr + 4 am rechten Rand = 10 Uhren

2. Weg (Siebformel für Mengen)
Alternativ können die Dopplungen direkt abgezogen werden:
9 + 6 - (3 dazwischen + 2 Kuckucksuhren) = 10 Uhren

"Skizze"
Das sieht so aus:
oKoooKoooo

EDIT
Und @Jirutsu war ein paar Sekunden schneller.
 

Jirutsu

Riesenschecke
Und hier wieder ein Rätsel für unsere Mathefreaks :)

Welche zehnstellige Zahl, in der jede einstellige Ziffer (0-9) nur einmal vorkommt, erfüllt folgende Voraussetzungen:

Die ersten zwei Stellen der Zahl sind durch 2 Teilbar - Die ersten drei Stellen der Zahl sind durch 3 teilbar - Die ersten vier Stellen der Zahl sind durch 4 teilbar - ... und so weiter ... - Die zehn Stellen der Zahl sind durch 10 teilbar?

P.S. Ich hab mir jetzt die schon gestellten Rätsel nicht alle nochmal angeschaut. Kann also sein, dass dieses schonmal vorkam. In diesem Fall: Sorry
 

fuzzy.boomer

Schüler der Zwerge
Mit geschickter Fallunterscheidung und guten Kenntnissen der Teilbarkeitsregeln ist die Aufgabe lösbar.
Der Nachweis, dass es keine weitere Lösung gibt, ist aber doch etwas umfangreicher …

Code:
Die gesuchte Zahl sei abcdefghij.

Direkte Schlussfolgerungen aus der Aufgabenstellung:
 1. Stelle a
 2. Stelle b: gerade
 3. Stelle c: a + b + c durch 3 teilbar
 4. Stelle d: d gerade, cd durch 4 teilbar
 5. Stelle e: 0 oder 5
 6. Stelle f: gerade, d + e + f durch 3 teilbar
 7. Stelle g: a - bcd + efg durch 7 teilbar
 8. Stelle h: h gerade, gh durch 4 teilbar, fgh durch 8 teilbar
 9. Stelle i: a + b + c + d + e + f + g + h + i durch 9 teilbar
10. Stelle j: Nur 0 möglich!

Und nun der Rest des Lösungsweges …

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 9 * 10 / 2 = 45 ist immer durch 9 teilbar, also können wir den Hinweis für i ignorieren!

e = 5, da 0 vergeben ist.

b, d, f, h, j sind gerade, also sind a, c, g, i ungerade.

d + 5 + f durch 3 teilbar, also hat d + f bei Teilung durch 3 den Rest 1.
    d und f sind gerade, also ist d + f gerade.
    3 * 1 + 1 = 4 ist zu klein. (2 + 2 ist nicht möglich!)
    3 * 2 + 1 = 7 ist ungerade.
    3 * 3 + 1 = 10 wäre denkbar.
    3 * 4 + 1 = 13 ist ungerade.
    3 * 5 + 1 = 16 ist zu groß. (8 + 8 ist nicht möglich!)
    Es bleibt nur d + f = 10 übrig.

0 = (gh) mod 4 = (10 * g + h) mod 4 = (2 * g + h) mod 4
    g ist ungerade, also ist h nicht durch 4 teilbar.
    Es bleiben für h nur 2 und 6.
Analog gilt die Überlegung für cd.
Damit bleiben für d und h nur 2 oder 6. Für b und f sind entsprechend nur 4 oder 8 möglich.

Wegen d + f = 10 bleiben zwei Möglichkeiten:
    (X) d = 2, f = 8, b = 4, h = 6
    (Y) d = 6, f = 4, b = 8, h = 2

0 = (fgh) mod 8 = (100 * f + 10 * g + h) mod 8 = (4 * f + 2 * g + h) mod 8.
    4 * f ist durch 8 teilbar, also bleibt (2 * g + h) mod 8 = 0.
    (X) h = 6:
        (2 * g) mod 8 = 2, also bleibt für 2 * g nur 2 oder 2 + 8 = 10 oder 2 + 8 + 8 = 18, d.h. g ist 1 oder 5 oder 9 – wobei die 5 sofort entfällt.
    (Y) h = 2:
        2 * g mod 8 = 6, also bleibt für 2 * g nur 6 oder 6 + 8 = 14, d.h. g ist 3 oder 7.

a + b + c ist durch 3 teilbar und gerade.
    (X) b = 4:
        a + c hat bei Teilung durch 3 den Rest 2 und ist gerade.
        3 * ungerade + 2 ist ungerade.
        3 * 0 + 2 = 2 ist zu klein. (1 + 1 ist nicht möglich!)
        3 * 2 + 2 = 8 wäre denkbar.
        3 * 4 + 2 = 14 ist nicht möglich:
            5 + 9 oder 9 + 5 sind wegen der 5 nicht möglich.
            7 + 7 ist nicht möglich.
        3 * 6 + 2 = 20 ist zu groß.
        Es bleibt nur a + c = 8.
            3 + 5 oder 5 + 3 sind wegen der 5 nicht möglich.
            Es bleiben nur 1 und 7 übrig.
            Damit entfällt die 1 für g und es bleibt nur die 9.
            Für i bleibt nur die 3 übrig.
    (Y) b = 8:
        a + c hat bei Teilung durch 3 den Rest 1 und ist gerade.
        3 * gerade + 1 ist ungerade.
        (A) 3 * 1 + 1 = 4 wäre denkbar:
            Für a und c bleiben nur 1 oder 3.
            Für g bleibt dann nur 7.
            Für i bleibt nur 9.
        (B) 3 * 3 + 1 = 10 wäre denkbar:
            5 + 5 ist nicht möglich.
            3 + 7 und 7 + 3 sind nicht möglich, da für g nichts übrig bliebe.
            Für a und c bleiben nur 1 oder 9.
            Für g und i bleiben nur 3 oder 7.
        (C) 3 * 5 + 1 = 16 wäre denkbar:
            Für a und c bleiben nur 7 oder 9.
            Für g bleibt dann nur 3.
            Für i bleibt nur 1.
        3 * 7 + 1 = 22 ist zu groß.

Übersicht über die verbleibenden Möglichkeiten:
(Achtung: (B) hat 2 * 2 = 4 Möglichkeiten.)

              (X) ||| (Y)
                  ||| (A) | (B) | (C)
 1. Stelle a: 1|7 ||| 1o3 | 1o9 | 7o9
 2. Stelle b:  4  |||  8
 3. Stelle c: 7|1 ||| 3o1 | 9o1 | 9o7
 4. Stelle d:  2  |||  6
 5. Stelle e:      5
 6. Stelle f:  8  |||  4
 7. Stelle g:  9  |||  7  | 3o7 |  3
 8. Stelle h:  6  |||  2
 9. Stelle i:  3  |||  9  | 7o3 |  1
10. Stelle j:      0

Jetzt sind es nur noch wenige mögliche Zahlen, sodass wir uns die deutlich kompliziertere Teilbarkeit durch 7 ansehen können.
Hinweis: Die folgenden Rechnungen sind alle modulo 7.

Im Fall (X):
    0 = a - bcd + efg = a - 4c2 + 589 = a - 10 * c - 402 + 589
    Also haben wir:
    a + 4 * c = a - 10 * c = 589 - 402 = 187 = 5
    1 + 4 * 7 = 1
    7 + 4 * 1 = 4
    Hier gibt es also keine Lösung!
Im Fall (Y):
    0 = a - bcd + efg = a - 8c6 + 54g = a + g - 10 * c - 806 + 540
    Also haben wir:
    a + g + 4 * c = a + g - 10 * c = 806 - 540 = 266 = 0
    Im Fall (A):
        g = 7, also a + 4 * c = 0.
        1 + 4 * 3 = 13 = 6
        3 + 4 * 1 =  7 = 0
        Hier gibt es also genau eine Möglichkeit!
    Im Fall (B):
        1 + 3 + 4 * 9 = 40 = 5
        1 + 7 + 4 * 9 = 44 = 3
        9 + 3 + 4 * 1 = 16 = 2
        9 + 7 + 4 * 1 = 20 = 6
        Hier gibt es also keine Lösung!
    Im Fall (C):
        g = 3, also a + 4 * c = 4.
        7 + 4 * 9 = 43 = 1
        9 + 4 * 7 = 37 = 2
        Hier gibt es also keine Lösung!

Es bleibt nur die eine Möglichkeit aus (A) übrig:
    3816547290

Probe:
    Die einzelnen "Anfangszahlen" durchgehen und jeweils die Teilbarkeit prüfen.
    Das passt.
 

fuzzy.boomer

Schüler der Zwerge
Bin so müde, dachte Ihr wärt schon durch - sonst hätte ich mich noch mal dran gesetzt oder morgen oder überhaupt später :D...
Wenn du so müde bist, hast du bestimmt nicht den ganzen Lösungsweg gelsen bzw. dir gemerkt. Da kannst du dich also sehr wohl nochmal dransetzen.
Vielleicht findest du ja auch einen kürzeren Weg mit weniger aufwändiger Fallunterscheidung.

Die Lösungszahl hab ich übrigens inzwischen wieder vergessen … da müsste ich nachschauen. ;)
 

Jirutsu

Riesenschecke
Tipp1 => die letzte Ziffer ist die 0 (ist klar - die Zahl muss ein vielfaches von 10 sein)
Tipp2=> die zweite, vierte, sechste und achte Ziffer muss eine gerade Zahl sein (gerade Zahl mal gerade Zahl gleich gerade Zahl)
Tipp3 => die dritte, siebente und neunte Ziffer muss ungerade sein (da die geraden Ziffern ja schon an Position 2, 4, 6 und 8 stehen - siehe Tipp2)
Tipp4 => die fünfte Ziffer muss eine 5 sein (da dieNull ja schon an letzter Stelle steht)
und der Rest ist ja einfach :)
Das sind natürlich keine Tipps, mit denen man sofort auf die Lösung kommen würde.
 

fuzzy.boomer

Schüler der Zwerge
Das sind natürlich keine Tipps, mit denen man sofort auf die Lösung kommen würde.
Das nicht, aber sie schränken die möglichen Ziffernkombinationen schonmal enorm ein:
Für die 2, 4, 6, 8 gibt es 24 Möglichkeiten und (vorerst) unabhängig davon für die 1, 3, 7, 9 ebenfalls 24.
Aus den 10! = 3.628.800 Möglichkeiten (jede Ziffer genau einmal) werden so 24² = 576.

Damit könnte ein Spreadsheet mit 24 Hauptspalten und 24 Hauptzeilen sowie ein paar Hilfszeilen und -spalten bereits zur Lösung führen. Die ganzen Teilbarkeitregeln (außer die bereits genutzten für 2, 5 und 10) zur Vereinfachung sind dann nicht notwendig, da es hierfür geeignete Formeln gibt.


Wie dem auch sei, hier gibt es ein neues Rätsel ohne Formeln oder Teilbarkeiten:
Gesucht ist ein Beruf mit den folgenden Eigenschaften:
  • Das erste doppelt geht durch das zweite doppelt – normalerweise.
  • Andernfalls hilft das dritte weiter.
  • Das vierte doppelt ist ein unliebsamer Ort.
 

Semani

Anwärter des Eisenthrons
hier gibt es ein neues Rätsel ohne Formeln oder Teilbarkeiten:

Gesucht ist ein Beruf mit den folgenden Eigenschaften:
  • Das erste doppelt geht durch das zweite doppelt – normalerweise.
  • Andernfalls hilft das dritte weiter.
  • Das vierte doppelt ist ein unliebsamer Ort.
Tolles Rätsel @fuzzy.boomer. Ist es ein Wissenschaftler, der sich mit Zellteilungen beschäftigt? ;)

ein kleiner Tipp?
Ja, @SunrisePhilipp1, da wäre ich auch für :D
 

SunrisePhilipp1

Starke Birke
ich verstehe nur Bahnhof, tut mir leid. Das ist mir zu schwer. Ich bin zwar nicht allzu schwer von Begriff, aber da komm ich nicht drauf, so hoch ist mein IQ nicht:)
 

Blaustaub

Starke Birke
Es könnten Schichtarbeiter gemeint sein, die nach zweifacher und dreifacher Doppelschicht noch evt durch die Zulagen gnädig gestimmt sind. Jedoch nach oder während der 4. Doppelschicht der Boden unter den Füßen weggerissen wird..:rolleyes:
Ok...im übertragenden Sinne .. :D. Doppel gibts beim Tennis, beim Häkeln..ähm..wo noch..`grübel`
 

Aveyond

Samen des Weltenbaums
Kamel (Doppelhöcker), Ohren (in der Regel immer zwei), Augen, 00 (Toilette), SingSing (Gefängnis)
Hatte schon an "ein Kamel geht durch ein Nadelöhr (Ohren)" gedacht, komme da aber irgendwie nicht weiter....