Die gesuchte Zahl sei abcdefghij.
Direkte Schlussfolgerungen aus der Aufgabenstellung:
1. Stelle a
2. Stelle b: gerade
3. Stelle c: a + b + c durch 3 teilbar
4. Stelle d: d gerade, cd durch 4 teilbar
5. Stelle e: 0 oder 5
6. Stelle f: gerade, d + e + f durch 3 teilbar
7. Stelle g: a - bcd + efg durch 7 teilbar
8. Stelle h: h gerade, gh durch 4 teilbar, fgh durch 8 teilbar
9. Stelle i: a + b + c + d + e + f + g + h + i durch 9 teilbar
10. Stelle j: Nur 0 möglich!
Und nun der Rest des Lösungsweges …
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 9 * 10 / 2 = 45 ist immer durch 9 teilbar, also können wir den Hinweis für i ignorieren!
e = 5, da 0 vergeben ist.
b, d, f, h, j sind gerade, also sind a, c, g, i ungerade.
d + 5 + f durch 3 teilbar, also hat d + f bei Teilung durch 3 den Rest 1.
d und f sind gerade, also ist d + f gerade.
3 * 1 + 1 = 4 ist zu klein. (2 + 2 ist nicht möglich!)
3 * 2 + 1 = 7 ist ungerade.
3 * 3 + 1 = 10 wäre denkbar.
3 * 4 + 1 = 13 ist ungerade.
3 * 5 + 1 = 16 ist zu groß. (8 + 8 ist nicht möglich!)
Es bleibt nur d + f = 10 übrig.
0 = (gh) mod 4 = (10 * g + h) mod 4 = (2 * g + h) mod 4
g ist ungerade, also ist h nicht durch 4 teilbar.
Es bleiben für h nur 2 und 6.
Analog gilt die Überlegung für cd.
Damit bleiben für d und h nur 2 oder 6. Für b und f sind entsprechend nur 4 oder 8 möglich.
Wegen d + f = 10 bleiben zwei Möglichkeiten:
(X) d = 2, f = 8, b = 4, h = 6
(Y) d = 6, f = 4, b = 8, h = 2
0 = (fgh) mod 8 = (100 * f + 10 * g + h) mod 8 = (4 * f + 2 * g + h) mod 8.
4 * f ist durch 8 teilbar, also bleibt (2 * g + h) mod 8 = 0.
(X) h = 6:
(2 * g) mod 8 = 2, also bleibt für 2 * g nur 2 oder 2 + 8 = 10 oder 2 + 8 + 8 = 18, d.h. g ist 1 oder 5 oder 9 – wobei die 5 sofort entfällt.
(Y) h = 2:
2 * g mod 8 = 6, also bleibt für 2 * g nur 6 oder 6 + 8 = 14, d.h. g ist 3 oder 7.
a + b + c ist durch 3 teilbar und gerade.
(X) b = 4:
a + c hat bei Teilung durch 3 den Rest 2 und ist gerade.
3 * ungerade + 2 ist ungerade.
3 * 0 + 2 = 2 ist zu klein. (1 + 1 ist nicht möglich!)
3 * 2 + 2 = 8 wäre denkbar.
3 * 4 + 2 = 14 ist nicht möglich:
5 + 9 oder 9 + 5 sind wegen der 5 nicht möglich.
7 + 7 ist nicht möglich.
3 * 6 + 2 = 20 ist zu groß.
Es bleibt nur a + c = 8.
3 + 5 oder 5 + 3 sind wegen der 5 nicht möglich.
Es bleiben nur 1 und 7 übrig.
Damit entfällt die 1 für g und es bleibt nur die 9.
Für i bleibt nur die 3 übrig.
(Y) b = 8:
a + c hat bei Teilung durch 3 den Rest 1 und ist gerade.
3 * gerade + 1 ist ungerade.
(A) 3 * 1 + 1 = 4 wäre denkbar:
Für a und c bleiben nur 1 oder 3.
Für g bleibt dann nur 7.
Für i bleibt nur 9.
(B) 3 * 3 + 1 = 10 wäre denkbar:
5 + 5 ist nicht möglich.
3 + 7 und 7 + 3 sind nicht möglich, da für g nichts übrig bliebe.
Für a und c bleiben nur 1 oder 9.
Für g und i bleiben nur 3 oder 7.
(C) 3 * 5 + 1 = 16 wäre denkbar:
Für a und c bleiben nur 7 oder 9.
Für g bleibt dann nur 3.
Für i bleibt nur 1.
3 * 7 + 1 = 22 ist zu groß.
Übersicht über die verbleibenden Möglichkeiten:
(Achtung: (B) hat 2 * 2 = 4 Möglichkeiten.)
(X) ||| (Y)
||| (A) | (B) | (C)
1. Stelle a: 1|7 ||| 1o3 | 1o9 | 7o9
2. Stelle b: 4 ||| 8
3. Stelle c: 7|1 ||| 3o1 | 9o1 | 9o7
4. Stelle d: 2 ||| 6
5. Stelle e: 5
6. Stelle f: 8 ||| 4
7. Stelle g: 9 ||| 7 | 3o7 | 3
8. Stelle h: 6 ||| 2
9. Stelle i: 3 ||| 9 | 7o3 | 1
10. Stelle j: 0
Jetzt sind es nur noch wenige mögliche Zahlen, sodass wir uns die deutlich kompliziertere Teilbarkeit durch 7 ansehen können.
Hinweis: Die folgenden Rechnungen sind alle modulo 7.
Im Fall (X):
0 = a - bcd + efg = a - 4c2 + 589 = a - 10 * c - 402 + 589
Also haben wir:
a + 4 * c = a - 10 * c = 589 - 402 = 187 = 5
1 + 4 * 7 = 1
7 + 4 * 1 = 4
Hier gibt es also keine Lösung!
Im Fall (Y):
0 = a - bcd + efg = a - 8c6 + 54g = a + g - 10 * c - 806 + 540
Also haben wir:
a + g + 4 * c = a + g - 10 * c = 806 - 540 = 266 = 0
Im Fall (A):
g = 7, also a + 4 * c = 0.
1 + 4 * 3 = 13 = 6
3 + 4 * 1 = 7 = 0
Hier gibt es also genau eine Möglichkeit!
Im Fall (B):
1 + 3 + 4 * 9 = 40 = 5
1 + 7 + 4 * 9 = 44 = 3
9 + 3 + 4 * 1 = 16 = 2
9 + 7 + 4 * 1 = 20 = 6
Hier gibt es also keine Lösung!
Im Fall (C):
g = 3, also a + 4 * c = 4.
7 + 4 * 9 = 43 = 1
9 + 4 * 7 = 37 = 2
Hier gibt es also keine Lösung!
Es bleibt nur die eine Möglichkeit aus (A) übrig:
3816547290
Probe:
Die einzelnen "Anfangszahlen" durchgehen und jeweils die Teilbarkeit prüfen.
Das passt.